自控原理笔记

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经典控制理论部分

拉氏变换

即拉普拉斯变换，正变换公式如下，其中f(t)为原函数， F(s)为象函数

$$L[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$

常用拉氏变换如下：

f(t)	F(s)
单位冲激 $\delta (t)$	$1$
单位阶跃 $1(t)$	$\frac{1}{s}$
单位斜坡 $t$	$\frac{1}{s^2}$
正弦 $\sin(\omega t)$	$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
余弦 $\cos(\omega t)$	$\frac{s}{s^2+\omega^2}$
$e^{-at}$	$\frac{1}{s+a}$

拉氏变换的性质

1. 线性：叠加性和齐次性

2. (时域)微分定理：$L[f’(t)]=sF(s)-f(0)$

3. (时域)积分定理：$L[\int_{0}^{t}{f(t)dt}]=\frac{1}{s}F(s)+\frac{1}{s}f^{-1}(0)$

   • 微分定理和积分定理本质上是一样的，把微分定理中的导函数换成普通函数，则函数变成其原函数，再移项即可得积分定理

4. 位移定理：正正反反（正变换位移符号不变，反变换位移符号相反）

   • 正：$$L[f(t-\tau)]=e^{-\tau s}F(s)$$

   • 反：$$F(s+a)=L[e^{-at}f(t)]$$

5. 终值定理：$\lim\limits_{t \to\infty }{f(t)} =\lim\limits_{s \to 0}{sF(s)}$

6. 初值定理：$\lim\limits_{t \to 0}{f(t)} =\lim\limits_{s \to \infty}{sF(s)}$

   • 终值定理和初值定理的使用条件是各极限存在

7. 卷积定理：

   记

   $$L[f(t)]=F(s)$$ $$L[g(t)]=G(s)$$ $$f(t)*g(t)=\int_{0}^{\infty}f(t-x)g(x)dx=\int_{0}^{\infty}f(x)g(t-x)dx$$

   则 $$L[f(t)*g(t)]=F(s)\cdot G(s)$$ $$L[f(t)\cdot g(t)]=F(s)*G(s)$$

传递函数：零初始条件下的拉氏变换之比

梅森(Mason)公式

需要先作出系统的信号流图，用熟了也可以直接用方框图

系统闭环传函：

$$T=\frac{1}{\Delta}\sum\limits_{k=1}^{n}p_k\cdot\Delta_k$$

其中：

$p_k$： 第k条前向通道(的增益)

$\Delta=1-\sum\limits L_1+\sum\limits L_2-\sum\limits L_3+\cdots+(-1)^n\sum L_n$

$L_1$：单独回环增益

$L_2$：互不接触(无公共节点)回环增益两两相乘的乘积之和

$L_2$：互不接触(无公共节点)回环增益每三个相乘的乘积之和

$\Delta_k$：去掉$p_k$所有节点和边后的信号流图的$\Delta$

一阶系统

闭环传函：$G(s)=\frac{1}{Ts+1}$

单位脉冲响应：$r(t)=\delta(t)$

$$C(s)=\frac{1}{Ts+1}$$

$$c(t)=\frac{1}{T}e^{-\frac{t}{T}}$$

单位阶跃响应：$r(t)=1(t)$

$$C(s)= \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{Ts+1}$$

$$c(t)=1-e^{-\frac{t}{T}}$$

若输入信号变为原来的导函数，则输出信号也变成原来的导函数

$t$	各种时间参数的定义	$\frac{c(t)}{c(\infty)}$
T	$c(t)=1-e^{-1}=0.632$	63.2%
2.3T	上升时间 $t_r$	90%
3T	调节时间 $t_s(\Delta=0.05)$	95%
4T	调节时间 $t_s(\Delta=0.02)$	98%

• 上升时间也指10%~90%所用时间，此时$t_r=2.2T$，常用于过阻尼系统
• 一阶系统的单位阶跃响应不存在峰值时间$T_p$（或者说峰值时间为无穷大）、超调量$\sigma$或$\sigma%$、衰减比n。

单位斜坡响应

$$C(s)=\frac{1}{s^2}\cdot\frac{1}{Ts+1}$$

$$c(t)=t-T+Te^{-\frac{t}{T}}$$

二阶系统

闭环传函：$\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi_n\omega_ns+\omega_n^2}$

$\xi$：阻尼比

$\omega_n$：（无阻尼）自然振荡角频率，固有频率

$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}$：阻尼振荡频率

阻尼比	系统类型	特征根分布	根
$\xi=0$	无阻尼系统	一对共轭纯虚根	$\lambda_{1,2}=\pm j\omega_n $
$0<\xi<1$	欠阻尼系统	一对共轭复根	$\lambda_{1,2}=-\xi\omega_n\pm j\omega_d$
$\xi=1$	临界阻尼系统	两个相等的负实根	$\lambda_1=\lambda_2=-\omega_n$
$\xi>1$	过阻尼系统	两个不等的负实根	$\lambda_{1,2}=-\xi\omega_n\pm\omega_d$
$\xi<0$	发散	存在位于正半平面的根	$\cdots$

标准二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应推导 $$ \begin{align*} C(s)= & \mathit{\Phi}(s)R(s) \\ = & \frac{1}{s}\cdot\frac{\omega_n^2} {s^2+2\xi_n\omega_ns+\omega_n^2}\\ = & \frac{1}{s} \\ \end{align*} $$

现代控制理论部分